Условное ожидание (вырожденного) тривариата нормально? - DataScientist
1 голос
/ 25 октября

Скажем $A$ и $B$ оба независимы, нормально распределены. $A\sim\mathcal{N}(\mu_{A},\sigma^{2}_{A})$ и $B\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2}_{B})$ определяют $C=A+B$. Тогда $(A,B,C)'$ являются вырожденными, объединенные триварианты нормальны, потому что $\rho_{A,C}=\rho_{B,C}=1$ и корреляционная матрица $(A,B,C)'$ сингулярны. Каково было бы условное ожидание $\mathbb{E}[B|C]$?

Наивный подход: вставьте значения в формулу для условного ожидания двумерного нормального: $\mathbb{E}[X|Y]=\mathbb{E}[X]+\rho\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(Y-\mathbb{E}[Y])$

Итак: $\mathbb{E}[B|C]=\mu_{B}+(\rho_{B,C})\frac{\sigma^{2}_{B}}{\sigma^{2}_{C}}(C-\mu_{C})=0+(1)\frac{\sigma^{2}_{B}}{\sigma^{2}_{A}+\sigma^{2}_{B}}(C-\mu_C)$

Но тогда я застрял по 2 причинам: (а) С $C=A+B$ я должен написать $(A+B-\mu_{A})$? (b) Имеет ли смысл даже использовать формулу условного ожидания двумерного нормали, просто используя $1$ для $\rho=1$?

...